Теорема Осгуда о единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения

Теорема Осгуда о единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения — теорема, формулирующая достаточные условия единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения.

Формулировка

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение ${\vec {\dot {y}}}={\vec {f}}(t,{\vec {y}})$, где $t$ - независимая скалярная переменная, ${\vec {y}}=(y_{1},...,y_{n})$ - вектор,${\vec {f}}(t,{\vec {y}})=(f_{1}(t,{\vec {y}}),...,f_{n}(t,{\vec {y}}))$, - векторная функция вектора ${\vec {y}}$ и скаляра $t$, знак ${\dot {y}}$ означает производную $y$ по $t$.

Если все функции $f_{i}(t,{\vec {y}})$, $i=1,...n$ для любой пары точек $(t,{\vec {y_{1}}})$ и $(t,{\vec {y_{2}}})$ в области $G$ удовлетворяют условию:

$\left|f_{i}(t,{\vec {y_{2}}})-f_{i}(t,{\vec {y_{1}}})\right|\leqslant \varphi (\sum _{\mu =1}^{n}\left|y_{{2}{\mu }}-y_{{1}{\mu }}\right|)$ (1),

где непрерывная функция $\varphi (u)>0$ при $u>0$ такова, что $\int _{\varepsilon }^{a}{\frac {du}{\varphi ((u)}}\rightarrow \infty$ когда $\varepsilon \rightarrow +0$, то через каждую точку области $G$ проходит не более одной интегральной кривой уравнения ${\vec {\dot {y}}}={\vec {f}}(t,{\vec {y}})$.

Пояснения

Областью $G$ называется непустое множество точек, обладающее следующими двумя свойствами:

1. Каждая точка $G$ есть внутренняя, то есть она имеет окрестность, целиком принадлежащую G.
2. Множество $G$ связно, те любые две его точки можно соединить состоящей из конечного числа звеньев ломаной, целиком лежащей внутри $G$.

В качестве функций $\varphi (u)$ могут использоваться функции $Ku$, $Ku\left|\ln u\right|$, $Ku\left|\ln u\right|\ln \left|\ln u\right|$, $Ku\left|\ln u\right|\ln \left|\ln u\right|\ln \ln \left|\ln u\right|$ и т.п. Наиболее часто в этой теореме принимают $\varphi (u)=Ku$. В этом случае условие (1) принимает вид условия Липшица по $y$:

$\left|f_{i}(t,{\vec {y_{2}}})-f_{i}(t,{\vec {y_{1}}})\right|\leqslant K\sum _{\mu =1}^{n}\left|{\vec {y_{{2}{\mu }}}}-{\vec {y_{{1}{\mu }}}}\right|$,

Известны обобщения этой теоремы.

См. также

• Теорема Пеано о существовании решения обыкновенного дифференциального уравнения
• Теорема существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения

Литература

• И.Г. Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.,Л.: ГосТехТеорИздат, 1949. — 208 с.